Dualities in graphs and digraphs

In der vorliegenden Arbeit beschreiben wir Dualitäten in gerichteten sowie in ungerichteten Graphen basierend auf Konzepten wie Weiteparametern, Obstruktionen und Substrukturen. Der Hauptfokus der Arbeit liegt bei gerichteten Graphen und ihrer Struktur. Im Kontext einer lange offenen Vermutung, dass die Monotoniekosten einer Variante des Räuber und Gendarm Spiels für gerichtete Graphen beschränkt sind, führen wir neue Weiteparameter ein, die auf gerichteten Separationen basieren und eng mit DAG-Weite verwandt sind. Wir identifizieren Tangle-artige Obstruktionen zu diesen Weiteparametern und beweisen die Dualität zwischen diesen beiden Konzepten. Johnson, Reed, Robertson, Seymour und Thomas haben die gerichtete Baumweite als gerichtete Verallgemeinerung der Baumweite auf ungerichteten Graphen eingeführt. Wir führen einen neuen Weiteparameter, die Cyclewidth, ein, der parametrisch equivalent zur gerichteten Baumweite ist. Unter Nutzung der Verwandtschaft von gerichteten Graphen und bipartiten Graphen mit perfekten Matchings charakterisieren wir die gerichteten Graphen mit kleiner Cyclewidth. Ein einschlagendes Ergebnis in der Graphenstrukturtheorie ist das Strukturtheorem von Robertson und Seymour. Basierend darauf gibt es Anstrengungen ein solches Strukturtheorem auch für gerichtete Graphen zu finden und dafür die gerichtete Baumweite als Grundlage zu nutzen. Dieses Theorem soll die Struktur aller gerichteten Graphen beschreiben, die einen festen gerichteten Graphen als Butterflyminoren ausschließen. In diesem Kontext beweisen wir ein neues Flat-wall-theorem für gerichtete Graphen, dass unserer Erwartung nach eine bessere Basis für ein gerichtetes Strukturtheorem bietet als die bisher betrachteten Alternativen. Auf ungerichteten Graphen präsentieren wir einige Ergebnisse bezüglich induzierten Subgraphen in gegebenen Graphen oder ihren Linegraphen. Diese Ergebnisse reichen von der Betrachtung spezifischer Graphklassen, wie den Graphen mit zwei Moplexen, bis zu Ergebnissen auf der allgemeinen Klasse aller Graphen.